危機微積維基：正弦函數和餘弦函數的微分

 

我們在談論泰勒級數時，有提到sin的微分為cos。由於那篇文章主要重點是泰勒級數，而不在sin的微分上，因此不多做說明，而在這裡證明給諸看倌。

這裡的sin顯得相當棘手，我的意思是，這裡sin x是不可能直接把指數拿下來乘再減一那麼簡單地。因此我們從最原始的形式出發：

而三角函數最大的優點在於：和角公式，sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)+cos(x)，因此能額外獲得一些能透過運算消掉或整理的東西：

接著再整理式子：

這裡的cos δ剛好在δ=0時有定義，即cos 0=1，因此分子為0，整個分數為0，加號左邊的分數消去了！接著再看看右邊：

注意到那個lim了嗎？也許諸看倌會在這裡起疑惑，不過這是夾擠定理（Squeeze Theorem）的應用，我們會在往後討論到。因此，我們得到了sin的微分為cos。

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cos的微分基本上不會太難，值得注意的是它微分出來有個負號。由於我們先前證得sin為分為cos，我們這次用用看鏈鎖律（The Chain Rule）而作以下假設：

我們會這麼假設是有原因的。請看以下圖形：

同樣的0，可由sin 0=sin π和cos π/2得到，而同樣的1，則是sin π/2和cos 0，可得cos x=sin(x+π/2)。透過sin取補角而值仍不變的特性，再把π/2-x定義為Δ(x)，即完成假設。接著依鏈鎖律：

經過整理後可得：

想想我們在假設Δ(x)時所做的說明：cos x=sin(x+π/2)，而且sin x=cos(x-π/2)，而cos在角度改變正負號其值不變，可得cos(x-π/2)=cos(-x+π/2)=cos(Δ(x))，故得證。

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如果我們直接把x+π/2定義成Θ(x)呢？

也是可以的，請看：