李娘二姊不辣：共軛、轉置、共軛轉置！ Conjugate, Transpose, and Conjugate transpose

無聊而已，實際上這只是類似負負得正的運算罷了。矩陣為什麼需要那麼多符號來代表這些運算過程啊啊啊啊！

共軛轉置這些名詞聽起來很文謅謅，事實上他的概念很簡單。共軛，指的是複數的共軛；轉置，指的是元素位置的變換。共軛轉置，就是同時進行上述兩種運算。先來看看共軛（Conjugate）吧：

也就是說，我們讓某個矩陣A的每個元素都變成他的共軛複數。給不懂何謂共軛複數的人：

這是非常「數學式」的表達方法。對於一個複數c，有其共軛複數c bar，兩者虛部（有虛數單位那一塊）差一個負號。比如說，若c為5+3i，則其共軛複數為5-3i。實部不變，虛部變號。

現在考慮一個實際的矩陣E，內容如上圖。我們可以知道他的共軛矩陣，用一個五芒星（﹡，Star）註記（有時也以bar註記，以免和共軛轉置混淆）：

＊

轉置（Transpose），即把行和列對調。原本在第一行的元素給寫到第一列，第一列的元素寫到第一行，如此一來可以用這樣定義：

我們用T註記之。這和網站上躲避版權追查而左右翻轉畫面是有些不同，考慮上面拿來當範例的矩陣E，有其轉置矩陣：

＊

現在同時進行共軛和轉置。考慮範例矩陣E，有其共軛轉置矩陣：

我們用匕首（Dagger）註記之，同時在線性代數中也有以六芒星（＊）或H標記的方式。值得注意的是共軛轉置還有兩個別名：埃爾米特共軛及埃爾米特轉置。實際上也就是把「埃爾米特」（Hermite）這位法國人的名字套到共軛和轉置上。

有關埃爾米特這個人，還有個有趣的東西冠了他的名字：埃爾米特矩陣。所謂埃爾米特矩陣，即共軛轉置後仍不變者。比如說：

就是一個埃爾米特矩陣。為了讓他在經歷共軛和轉置兩道程序後保持不變，我們需要兩個條件：

1. 轉置：為了讓他大小一樣，他必須要是一個方塊矩陣。意即，行數要等同於列數。
2. 共軛：為了保持轉置並共軛後所有元素仍相同，以左上—右下這條對角線分成兩邊，兩邊相對應的複數都必須是共軛的。而左上—右下對角線上不可有虛部不為零的數，以免共軛後無法改變位置而和原本的矩陣有所出入。

矩陣處理完了，矩陣乘法也完了，是時候該來處理狄拉克標記了。