鼎鼎大名的伽瑪函數！
我們在討論量子力學時提到「量子」兩個字很常出現在不現實的科幻設定中。事實上，希臘字母也挺常出現在這些作品中，「阿爾法」啦、「貝塔」啦、「奧米茄」啦。畢竟在歐洲裡和拉丁字母不一樣、又容易和有古老文明的希臘連結在一起，自然希臘字母能夠打敗西里爾字母。反倒是某些戰爭或描述冷戰蘇聯的作品中才會看到西里爾字母。
興奮了嗎，科幻迷們？「伽瑪函數」（Gamma Function）聽起來就好科幻啊。我當初在撰寫馬克士威-波茲曼統計時也覺得好稀奇，怎麼有人把函數用希臘字母命名的？
況且積分竟然也會扯到伽瑪函數。不過另一個函數——誤差函數也會扯到積分，而誤差函數在馬克士威-波茲曼分布中有談到。差別在於積分函數是將參數作為積分上限（也就是你要告訴他積分到哪裡），而伽瑪函數則是將參數看作一種常數（參與運算）。
看好喔，伽瑪小姐的特寫照（笑）。或許看倌在網路上、課堂上或特寫中注意到了一點，伽瑪函數可視作階乘，如果參數是正整數。把參數減一後帶進去，就是階乘了，比如說Γ(2)就是1!=1。
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除了可以被視作階乘外，伽瑪小姐的另一個特點在於它的迴歸式。看好喔：
看起來也挺像階乘的對吧？問題來了，我們在推導馬克士威_波茲曼統計時寫過一個算式：
那時我說過「對於Γ函數我們有一個特別的運算方法」就是指這種算法。不過，這種算法可以應用在正整數以外的數上面嗎？這種看起來很像階層的東西竟然也可以用到非正整數上，這也就是我為何要花大篇幅來介紹伽瑪小姐。
不過事實上要證明伽瑪小姐能這麼厲害並不會太難，你要有的只有分部積分法。
而我們的分部積分法是這樣對定積分定義的：
事實上中間那項就是將完全沒有微分過的函數乘積帶入積分上限下限後的差。在不定積分中的分部積分法我們沒有規定把上下限帶進去，故本人認為這樣應該比較好看出來。回到伽瑪小姐身上，我們可以對她使用分部積分法：
當然，如果我們把原本的函數看作是分母的指數函數先被微分過了，這樣就不用在把他還原時多乘一個什麼常數進去了，只要一個負號。畢竟指數函數微分後還是指數函數。各位應該可以看到最右邊那一項就是我們想要的(x-1)Γ(x-1)，我們要幹活的是中間那一坨。
首先帶0進去的那一項是零應該沒有異議，一分之零就是零。但是無限大那一項呢？無限大分之無限大？無限大要怎麼運算？
看來只能用極限逼進了呢。我說：
不過這樣還是很難看出來他究竟是什麼或他的極限在哪裡。於是我們找來洛必達（l'Hôpital）來幫助我們：上下都微分吧！
嗯......不過洛必達沒有限制我們該微分幾次，那就繼續微分下去！
最後我們知道無論t有多大，它的極限仍舊是0。所以說：
就是另一種迴歸的表達了。
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我們知道Γ(1)就是把exp(-x)從0積分到無限大去，而由於他的收斂，我們知道積分值是1，也就是Γ(1)=1，那麼事情就好辦了。
- Γ(2)=1Γ(1)=1=1!
- Γ(3)=2Γ(2)=2=2!
- Γ(4)=3Γ(3)=6=3!
- Γ(5)=4Γ(4)=24=4!
- Γ(6)=5Γ(5)=120=5!......
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伽瑪函數之所以會有這個名稱是因為他是第二類歐拉積分（Euler Integral），而第一類就留給了另一個不怎麼有名的貝塔函數（Β Function）。為什麼不直接從阿爾法開始命名？我不知道......大概就是某種中二病吧，呵呵。
寫的文章用來越多，最後就能常看到一篇文章連結到許多篇了......。
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有關公式的LaTeX語法：
\Gamma(x)=\int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{e^t}\;dt
\int_a^bu'v\;dx=\int_a^b(uv)'\;dx-\int_a^buv'\;dx
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有關過程的LaTeX語法：
\Gamma(x)=\int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{e^t}\;dt=-\frac{\infty^{x-1}}{e^\infty}+\frac{0^{x-1}}{e^0}+\int_0^\infty-\frac{(x-1)t^{x-2}}{e^t}\;dt
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