排組列排合組：買大樂透划不划算？

中文有一句成語就做「眾望所歸」，人們熱切地企盼著少女的到來......不是，是熱切地企盼著機率給出的結果是什麼。就好比一顆骰子有一到六點，但是不一定每一次擲骰子就一定會直出三點。

我們真正想知道的是，這些結果的平均呢？


把這些結果平均起來，似乎是最有可能的結果（機率越大就越偏向那個結果），因此這個「被眾望所歸」的平均就被稱作期望值（Expected Value）。

期望值的定義非常簡單，就是所有結果的加權平均。而權數則是他們的可能結果術。因此，就一顆骰子而言，其期望值為：

骰子的期望值是3.5，大概沒什麼意義吧。現在把期望值應用到大樂透上，我們期望他有個平均的回饋。

而大樂透的規則可以參考這裡。由於每期總獎金都不同，我們假設一個變數T為總獎金扣除普獎六獎之後的餘額，也就是說每注的期望值為：

而稍做計算：

於是有期望值：

很小。那也是我為何總是認為買大樂透是一件麻煩的事（我才不會說是我太懶呢）。

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有關公式的LaTeX語法：

E(X)=\int_\Omega X\;dP=\sum_iX_iP_i

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有關過程的LaTeX語法

\begin{align*}
E&=\frac{1}{\text{C}^{49}_3}\cdot\frac{45\cdot44\cdot43}{46\cdot45\cdot44}\cdot400 \\
 &+\frac{1}{\text{C}^{49}_3}\cdot\frac{45\cdot44\cdot43}{46\cdot45\cdot44}\cdot\frac{3}{43}\cdot1000 \\
 &+\frac{1}{\text{C}^{49}_4}\cdot\frac{44\cdot43}{45\cdot44}\cdot0.19T \\
 &+\frac{1}{\text{C}^{49}_4}\cdot\frac{44\cdot43}{45\cdot44}\cdot\frac{2}{43}\cdot0.05T \\
 &+\frac{1}{\text{C}^{49}_5}\cdot\frac{43}{44}\cdot0.09T \\
 &+\frac{1}{\text{C}^{49}_5}\cdot\frac{43}{44}\cdot\frac{1}{43}\cdot0.09T \\
 &+\frac{1}{\text{C}^{49}_6}\cdot0.58T
\end{align*}

\begin{align*}
49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44E&=3!\cdot45\cdot44\cdot43\cdot400 \\
 &+3!\cdot45\cdot44\cdot43\cdot\frac{3}{43}\cdot1000 \\
 &+4!\cdot44\cdot43\cdot0.19T \\
 &+4!\cdot44\cdot43\cdot\frac{2}{43}\cdot0.05T \\
 &+5!\cdot43\cdot0.09T \\
 &+5!\cdot43\cdot\frac{1}{43}\cdot0.09T \\
 &+6!\cdot0.58T
\end{align*}

\begin{align*}
49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44E&=204336000 \\
 &+35640000 \\
 &+8627.52T \\
 &+105.6T \\
 &+464.4T \\
 &+10.8T \\
 &+417.6T
\end{align*}