基礎先奠好：泰勒級數 Taylor Series

這條式子想必很多人在中學的時候看過，我第一眼看到的反應是「怎麼又長又湊巧啊wwww」。巧在於：後面分子上，x的次方剛好就是分母的階乘。這有什麼用啊？可以吃嗎？

數學在「根號2是1.414」這時起就已經「腐化不能吃，只能神領意會的蠢東西」了，如果你只是想找一些可以吃的東西，很抱歉，這裡的東西都不能吃，甚至有毒，會產生頭暈、目眩、噁心等症狀。

回歸正題，e^x這東西最重要的在於「求值」。試想一下e的數值吧，2.718，對嗎？我們來把x用1帶回上面的那條式子裡試試看：

瞧！這不就算出來了嘛！阿哈！這個自然底e不管怎麼瞪他就是瞪不出2.718，用那個展開式竟然算的出來！真是太神奇了，泰勒！

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是時候該來看看泰勒級數（ Taylor Series）的真面目了。泰勒級數長得像文章一開始那樣子一大串：

如果f(x)是無限可微函數，那麼f(x)就可以用泰勒級數表示為上面的形式。等號左邊那一坨裡，左邊大大的符號是Σ，讀作「西格瑪」，是「總和」的意思；中間分數上面是f(x)的n次微分，並且用a代進去；下面則是n階乘；右邊是(x-a)的n次方。

至於這個a，它代表的是「泰勒級數收斂的點」，這是很多教科書或資料會講的東西；其實就是「出發點」啦，畢竟泰勒級數是無窮的，不可能只用幾項就可以把像e或sin這些函數表達完整，因此我們需要一個「出發點」或「錨點」，好用來「固定」我們的函數，這樣求出來的值才會準確。隨著x和a的距離越拉越大，在n次方下差距就會和原來的函數越來越明顯。

如同上面這張圖，我們讓g(x)的a代0，而h(x)的a代-2，瞧，神奇的事發生了！在x=-2時，「固定點」為0的g(x)竟然和f(x)有差距！而在x=0時，換成h(x)和f(x)有落差！詳細的數字可以參考圖右的試算表，左中右行分別為：f(x)、g(x)、h(x)。

而泰勒級數取的多寡，也會影響級數對於原本的函數「描述的夠不夠準確」。我們先前提過，像e這種「莫名其妙」的函數是不可能單單用幾項x就可以完美地表達的。因此除了選取適當的固定點外，我們也會「盡我們運算能力所及」地多算幾項。

這裡我們繼續用上面的g(x)，而另外定義i(x)、j(x)、k(x)、l(x)和m(x)，讓他們等於前一個再加上一項指數更大，分母的階乘也更大的分數。我們可以看到的是：隨著x的次數越來越高，函數對於e^x的描述能力也就越強：雖然這樣看來還是有點不足，那是因為x次數再高下去，人就算不出來啦！那樣要算到天荒地老也只能算到一半！

真正電腦並不知道所謂的「e^x」或「sin x」是什麼鬼，程式的設計反而是利用泰勒級數開下去計算，就跟計算函數值的拉格朗日插值法類似：電腦運算能力比人強多了，x次數再高再繁雜也算的出來。

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我們討論過了泰勒級數裡的a和後面被「......」省略掉的部份，現在該來談點嚴肅的話題了：我們在一開始見過e^x的展開，那麼為何(d e^x)(d x)=e^x？

看看e^x展開式裡的第三項，事實上是這樣的：

式子右邊分數上頭，用括號括起來的，正是e^a對a微分兩次（因為第二項其n=2），而a=0，得到e^0=1。也就是說，在這裡e^x的微分就是他自己。至於微分的證明，超出本文章的討論範圍，我會在這篇文章中跟諸看倌說清楚。

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又是泰勒級數，這次是令人頭疼的sin！

看到這裡，諸位看倌難免有一種想法：「我是知道e^x算的出數值，可是印象中老師只教我們sin的特殊角啊？」

沒有錯，sin在x為某些特定的數值（如30°或60°等）跑出來的樣子很討喜，但是沒有辦法所有場合都可以用30°或45°塞進去sin求值：萬一是15°呢？

不過在把15°塞進去之前，我們要先驗算看看30°塞進去是不是會得到0.5。

這樣子根本看不出來是什麼鬼嘛！問題出在哪裡？

問題出在單位換算。我們所講的「30°」跟「0、1、2、......」是有所不同的；這時我們勢必要採用「π」，也就是弧度來表示角度：至少「2π」還可以跟「6.28」畫上等號，「2°」就不行了。

我們已經知道，一個圓的弧度為2π，角度為360°，因而得知π弧度＝180°角度=3.1416純粹數字。因此我們用π/6來代替30°：

算出來了！sin 30°=0.5！

因此我們再用π/12代替15°，至於過程就交由諸看倌和算盤吧！我們得到sin 15°≒0.25882。如果你背過的sin 15°是(√6-√2)/4，那也無妨，只是人能記得有限：萬一是。sin 18°呢？sin 9°呢？乃至sin 1°呢？

我們只要有一台計算機，和經過轉換的角度：sin π/10、sin π/20和sin π/180，再代進去sin的泰勒級數就可以了。但是實際上我們拿來計算的計算機，大多本身就有sin的功能了，所以還是在沒有計算機，非得要手算時才可能派上用場。

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但是，他的二次項呢？

我們看到e^x的泰勒級數，有一個二次項x^2/2!，但是sin的泰勒級數裡，找不到二次項！雖然說sin函數是因此而被稱作「奇函數」，它沒有偶次項而最高次一定是奇次項。但是為什麼？

我們先就sin的泰勒級數來看：會只跑出一個x，那必定是分母為1或1!，而分子剛好也是一，右邊裡應當出現的(x-a)裡面的a變成了0：微分過後的函數，代a=0後其值為1！

sin 0=0，沒問題吧？因為「被神隱」的常數項，就是直接拿sin去代a=0，而任何數乘上0都是0，所以常數項會被消去。但是sin的微分──我們在一次項見到的那樣，我們設它為t(x)──把a=0帶進去，t(0)=1！

諸看倌有那麼一瞬間想到了cos 0，對嗎？

畢竟sin微分下去不會脫離三角函數的範疇太遠，我們得以知下面這條式子：

也就是說，sin的微分會變成cos。而cos的導函數（cos微分過後求得的函數）把0代進去仍會變成0，也就是sin，但是他的導函數代0進去反而會變成-1？

其實上面那句話「cos的導函數......也就是sin」其實是有謬誤的，這點我會在這裡解釋。

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行文至此，想必諸看倌對於泰勒級數或多或少有點了解吧？

其實它就是一種「公式」，把想要展開的函數代進去，再代一個a就可以求得他的級數：再代一個x就可以求值。

畢竟，e^x或sin x再怎麼看，也看不出他的值。