李娘二姊不辣：空間 Space

每個人都需要專屬於他自己的個空間，矩陣的列向量和行向量們也不例外。但是真正令人好奇的是，印象中碩大而結構嚴謹的空間，竟然只要單單幾個向量組合而成。



說穿了，空間就是特殊的集合。我們身處的空間當中，有人、樹、石子、水、還有其他一大堆東西。向量空間（Vector Space）也不例外，空間內的元素都是向量。和普通的集合不同的是，我們把向量空間V構築在體F（允許純量數字加減乘除運算的結構）上，並且在V裏頭我們新定義了兩個二元運算子（Binary Operator）：

1. 向量加法：，若 u v 都是集合V的元素，則 u+v 代表兩者的和，亦屬於向量空間V。
2. 純量乘法：，若 a 為體F的元素，v 為集合V的元素，則 a·v 代表兩者的積，亦屬於向量空間V。

再額外定義八個公理（Axiom）：

1. 向量加法結合律：
2. 向量加法交換律：
3. 向量加法單位元素：
4. 向量加法反元素：
5. 純量乘法對向量和分配律：
6. 純量乘法對純量和分配律：
7. 純量乘法結合律：
8. 純量乘法單位元素：

只要兩個二元運算滿足八個公理，我們就可從集合V中構築出向量空間。也因為要從集合構築到向量空間需要額外材料，我們有：

向量空間（）＝向量集合（V）＋2個運算＋8個公理

而子空間（Subspace），就是由子集合的概念衍伸而來。在向量空間底下，運算規則不變，公理也滿足，只要集合W內的元素都在集合V內，就可以從集合W中構築出向量空間的向量子空間。

向量子空間（）＝向量子集合（W）＋2個運算＋8個公理

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而從一個矩陣中我們可以分解出一連串的列向量和法向量，考慮一個2*3的矩陣A：

他的行向量是、、三者，列向量則是、兩者。現在讓我們專注在行空間（Column Space）上，最基本的三個元素就是那三個行向量，我們分別稱呼他們為c₁、c₂、c₃，把這三個向量擺進集合C裡。

而集合C的元素都是向量，我們可以說這個行向量的集合是一個包含所有向量的向量集合的子集合。其所構成的空間也就會變成子空間。再者，我們可以把集合C依照兩個運算和八個公理擴充出去，得到的是充滿最初三個向量的線性組合的空間，如此構成C的線性生成空間（Linear Span），span(C)，也就是說：

這樣子透過線性組合來擴充集合乃至構築空間，稱作張成（Span）。由最初三個行向量張成的向量空間就稱為行空間，由於三者中有兩者是線性相關的，因此這個空間只有二維，即每個在span(C)中的向量都可以拆解成這兩個線性獨立的向量的線性組合。列空間（Row Space）也是同樣的概念。

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考慮一個矩陣：

透過其特徵多項式我們知道他有特徵值0和9。就和列向量和它的空間一樣，我們一樣可以從特徵向量構築出特徵空間（Eigenspace）。和其他特徵的玩意一樣，特徵空間也是建立在那個著名的Ax=λx上。若矩陣有若干個特徵空間V，則有以下定義：

換句話說，對於一個特定的特徵值λ能夠使Ax=λx成立的向量x，可以組成一個特徵空間，我們稱呼他為λ-特徵空間（λ-eigenspace）。注意特徵空間不是以A的特徵向量為基底張成的空間，不過特徵向量互相獨立的概念在特徵分解派得上用場。

若λ對應的特徵向量有兩個，則λ-特徵空間就是二維的。對本章節一開始給定的A而言，他有特徵向量(1, -4)（特徵值為0）和(1, 5)（特徵值為9），則有：

而對於0-特徵空間，我們特別稱呼他為零空間（Nullspace）或稱核（Kernel）。也就是：

這點可以看成是對於任意向量v，特徵值為0時0v總是0。而A的零空間的維度則稱為A的零度（Nullity），在這裡因為只有一個基，所以是1。不過，零空間並非方陣專用。從上方給出的定義來看，能符合Av=0的A不一定是方陣。

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LaTeX語法：

\text{span}(C)=\left \{ \mathbf{v} \left |\; \mathbf{v}=\sum a_i\mathbf{c}_i,\quad a_i\in \mathbb{R},\quad \mathbf{c}_i\in C \right .\right \}

V_\lambda=\left \{ \mathbf{v}\left |\; \mathbf{v}=\sum a_i\boldsymbol{\delta}_i,\quad a_i\in \mathbb{R}, \quad \mathbf{A}\boldsymbol{\delta}_i=\lambda\boldsymbol{\delta}_i \right .\right \}

\begin{align*}
V_0 &= \left \{ \mathbf{v}\left |\; \mathbf{v}=\begin{bmatrix}s\\-4s\end{bmatrix},\quad s\in\mathbb{R} \right .\right \} \\
V_9 &= \left \{ \mathbf{v}\left |\; \mathbf{v}=\begin{bmatrix}t\\5t\end{bmatrix},\quad t\in\mathbb{R} \right .\right \}
\end{align*}

\text{Null}(\mathbf{A})=\left \{ \mathbf{v}\left |\; \mathbf{v}=\sum a_i\mathbf{u}_i,\quad a_i\in \mathbb{R}, \quad \mathbf{A}\mathbf{u}_i=\mathbf{0} \right .\right \}