我們紙上談兵：離心率（一） Eccentricity (I)

有個東西叫焦半徑。



橢圓（Ellipse），圓錐曲線（Conic Section）的一員，和其他同為圓錐曲線的圓、拋物線及雙曲線共享著一個性質：焦半徑滿足下列等式：

其中 r 為焦半徑（Focal Radius，圖形上一點至焦點之距）、l 為半焦弦（Semi-latus Rectum，通過焦點、垂直長軸的弦的一半）、ε 為離心率（Eccentricity）、θ 為焦半徑和長軸的夾角。

為什麼無緣無故就跑出這條式子來？我先不跟你說為什麼，我們來看一個東西：

橢圓上任一點至兩焦點之距離之和恆為該橢圓之長軸長。

以上圖來說，就是PF1線段等於PF2線段之和，同時也是兩條不同焦點的焦半徑的和。我們假設PF1線段為 r，焦距（Focal Length，焦點至中心C之距）為 f，半焦弦QF1為 l，半長軸長為 a，以及半焦弦和焦半徑之間的夾角為 φ，則有：

平方後得：

稍加整理：

代入一開始的 2a 的等式：

最後把 f 和 a 的比值定義作離心率 ε，並把 φ 置換成焦半徑和長軸的夾角 θ（θ = π/2 + φ）就得到了一開始的那條式子了。

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事實上這樣的形式可衍伸應用到所有二次曲線上，但是他們各自的證明法式就不同了。

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過程的LaTeX語法：

\begin{align*}
\left ( l+\sqrt{l^2+4f^2}-r \right )^2 &= 2l^2+r^2+4f^2-2lr+2(l-r)\sqrt{l^2+4f^2} \\
 &=r^2+4f^2-4fr\sin\phi
\end{align*}

r=\frac{l^2+l\sqrt{l^2+4f^2}}{l+\sqrt{l^2+4f^2}-2f\sin\phi}