我們紙上談兵：拋物線無法無天 The Limit of Parabolas

拋物線到後來會跑到哪裡去？




我們借用我在這一篇文章談到的焦半徑公式，規定焦半徑和對稱軸之門的夾角為 θ，其值以焦半徑最小時為 0；半正焦弦為 l，另拋物線之離心率恰好為一，而有：

設焦半徑的另一個端點至對稱軸的垂直距離為 h，就是 r sin(π - θ)，有：

神奇的是當 θ 趨近於 π 時，h 的分子和分母會同時趨近於 0！那麼這樣到底 h 是會無限大還是會是零？

這時就該是極限出場的時候了。跟據洛必逹定理（L'Hôpital's Rule），我們可以把 h 的分子分母同時對 θ 微分：

後面的那團東西正是 tan(θ) 的倒數，而我們已經知道他的極限：

也就是 θ 逼近 π 的時候，tan(θ) 的值就會從 0 的下方逼近 0（越來越小的負數），故有：

也就是拋物線不會停下來，而是永無止盡地向外擴張！（漸進線不存在）另外把拋物線替換成 x 的函數的話：

很難想像嗎？這就是極限了。

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過程的LaTeX語法：

\lim_{\theta\to\pi^-} h=-\lim_{\theta\to\pi^-}\frac{\cos\theta}{\sin\theta}