函數射來射去：複合函數 Function Composition

函數.......函數們要合體了！




函數會合體（笑）其實不是什麼值得驕傲或畏懼的事。這檔事很常發生，也就是拿另一個函數的結果來當作自己的原料罷了。就像俄羅斯娃娃（Matryoshka; Матрёшка）一樣，一個函數裡面還有另一個函數。

今天要來談的是有點不一樣的東西。以下圖為例：

我們設圖中 OP 為向量 v，OQ 為向量 u。而 f(x) 的圖形為 Γ_f，g(x) 的為 Γ_g，且各為集合，因此我們可以這麼寫：

向量 v 和 u 各屬於 Γ_f 和 Γ_g。但是上圖中 Q 的定義告訴我們，所有 Γ_g 裡的向量 q 其實都是 Γ_f 的 p 經過一變換 T（圖形 x 方向上壓縮 2 倍）。

換句話說：

最後我們的目標函數 g(x)：

＊

我們可以擴充這個結論，若對於 f(x) 有 x 方向的變動（如平移或伸縮）且可用 t(x) 表達，則新函數 g(x)：

因為我們要求：

＊

你用對文組的態度對我，我可是會生氣的（笑

＊

我一開始竟然把 composition（合成）打成 decomposition（分解），都是矩陣的錯！可惡！

＊

f(x)=3x+2,\;g(x)=x-4\\
\Rightarrow (f\circ g)(x)=f\!\left [\, g(x) \right ]=3(x-4)+2=3x-10

\begin{align*}
\Gamma_f &= \left \{ \mathbf{p}\,|\,\mathbf{p} = \begin{bmatrix} k \\ f(k) \end{bmatrix},\;k \in \mathbb{R} \right \} \\
\Gamma_g &= \left \{ \mathbf{q}\,|\,\mathbf{q} = \begin{bmatrix} k \\ g(k) \end{bmatrix},\;k \in \mathbb{R} \right \}
\end{align*}

\text{vector}\;\;\mathbf{p}=\begin{bmatrix} k/2 \\ f(k) \end{bmatrix} \text{satisfies that}\;\; y = g(x) \\
\Rightarrow g\!\left ( \frac{k}{2} \right ) = f(k)