函數射來射去：隱函數 Implicit Function

有時候函數的關係很曖昧。



有時候變數之間的關聯並不如 y = 5x + 3 那麼明確，但我們仍能透過微分的威力將我們想要的資訊給求出來。

考慮一個方程式：

根據經驗我們知道我們面對的是一個雙曲線。真要硬幹的話：

但是函數的定義是每個X（定義域）的元素對應Y（值域）的唯一元素（Every element of X (domain) is the first component of one and only one ordered pair in the f, the subset of the Cartesian product of X and Y (codomain).），這裡很顯然不合定義。我們換個方向思考：

這裡定義域的每個元素（數對 (x, y)，或者說 R 和 R 的笛卡爾積）都對應到一個常數：0，因此合定義。這就是隱函數（Implicit Function）：隱約地被方程式（隱式方程 Implicit Equation）定義。

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隱函數求導（Implicit Differenciation）是把整個隱函數對其中一個變數微分的過程。

僅管 y = f(x) 不能明顯地（Explicitly）表達出來，但是 y 和 x 之間仍是有關係的。因此：

根據鏈鎖律（Chain Rule）：

最後：

這就是 y 和 x 之間的關係——以斜率表示。換句話說我們得出來的結果是在 H(x, y) = 0 的圖形上，也就是在本文一開始的圖中的雙曲線上，經過任一點的切線的斜率等於其點的 x 值除以兩倍 y 值。