ㄛㄛ學長好潮好有知識ㄛ（雖然不知道那是什麼鬼東西= =，但是學長就是潮
說到這裡我又想到拉格朗日了，於戲。不過似乎會出現在動漫的「偽」量子力學比較少？如果說真要完全扯到量子力學的內容想必是少得可憐的（或許大部分作家自己根本不知道量子力學在搞些什麼東西），而用到量子力學概念的大概也很少。儘管如此，很多科幻作品依然存在著令人著迷的設定。
來源：623 俺的動漫交流站
我貼了一張司波達也的圖片並不是要酸他或宣傳動畫，而是這部動畫有一個設定很吸引我。
我們先撇去我是達也我很強那部分，還有去掉一他一大堆聽起來很炫泡的科幻設定。「想子」這東西非常吸引我的目光啊。大概就是像質子（proton）或光子（photon）那樣，依照量子化的概念取名為想子（psion，來源）。
但是，除了量子化外，作者佐島勤也似乎知道量子的命名規則。電子（electron）的名稱來源是希臘語「琥珀」（ήλεκτρον），質子（proton）的名稱來源是希臘語「第一」（πρῶτον），介子（meson）則是源自於希臘語「中間的」（μεσος，湯川秀樹當初是想說「介子的質量介在電子和質子中間」）。既然是「將『思想』量子化的粒子」，那就必定是希臘語「心靈」（ψυχή）的某種形式了吧。於是「想子」（psion）就出現了。
雖然我敢打賭作者對量子力學沒有太大的了解，但還是辛苦了！佐島勤！
＊
好了，回來，對於一個小到不行的粒子，我們把它放到一個盒子裡，照常理講是可以在盒子裡每一個地方都找得到（觀測到）這個粒子，對吧？
但是薛丁格（Erwin Schrödinger，1887—1961）會拿他的方程式跳出來說「錯！在盒子裡有地方會觀測不到粒子！」
你看看他，薛丁格那傢伙笑得真燦爛啊
為什麼可以「觀測不到」粒子，是我們的討論重點。薛丁格此時在我們旁邊，我們向他借一下他手中的方程式：
嗯，好像簡潔的令人難懂，那就叫薛丁格把他展開好了。
嗚哇！好恐怖！
是約化過後的普郎克常數、
是拉普拉斯算子、Ψ是以位置r和時間t為變數的波函數、V是位能、i是虛數單位、還有對時間的導數......薛丁格，你欺負人！不過在哈密頓量（
）隨時間的改變很微小時，薛丁格留了一手：他預言波函數可以形成駐波，並把上式含時薛丁格方程式退化成不含時薛丁格方程式。也就是（雖然沒看上去差不了多少）：
＊
好了，在還沒給予任何環境的條件下，我們也拿這條方程式沒轍。現在假設一個最簡單的環境：試想像你人身處在一個非常矮、非常窄的房間，但是這個房間卻看不到盡頭。沒錯，我們要探討的是一維狀況。
我們再進一步給這個房間位能。而對於位能，我們都知道又從位能低的地方移動到位能高的地方（比如說爬山），需要有人給你推一把。如果在這個一維的空間裡，某範圍（阱）內的位能為0，該範圍外的位能為無限大，那會怎麼樣呢？
大概像是爬高不見頂的懸崖那樣吧，所以粒子怎麼樣也逃不出那個阱而束縛在裡面。我們的目的就是要在這個阱裡面找粒子。
而現在既然粒子在阱內，不含時的薛丁格方程式就可以把位能那一項去掉了。也就是說：
而拉普拉斯算子，別看他被冠個「拉普拉斯」這麼炫砲的頭銜，其實也就是散度的旋度（或偏微分二次後的總合）：
因此我們可以得到：
解到這裡，諸看倌或許會聽到物理學家大喊「本徵能量」！那是有原因的，回想一下我們先前討論過的特徵值：
我們先前把線性變換A用矩陣的觀點去看他，這回得要用同樣是線性變換的微分算子去看他。也就是說，我們把變換A做以下定義：
此時E就變成了此變換的特徵值（或是量子學家愛說的「本徵值」），而ψ(x)則成了特（本）徵函數（和矩陣的特徵向量對應）。
而對於這類微分算子還想要特徵值不搞出其他東西的，果然只能指望三角函數了呢。也就是說：
我們讓特徵函數ψ(x)為正弦和餘弦函數的線性組合，因而要設A和B作為係數（這裡的係數A和上面的變換A是不同個），並且提防函數裏頭的x會不會也帶個係數。而特徵能量：
現在，回到那個阱。我們若假設位能為0的地方有L那麼寬（不包括端點，即0<x<L），並且我們知道在位能無限大的地方是找不到粒子的，因此有以下限制：
也因此，分別把0和L兩個值帶回有正弦和餘弦函數的那個波函數：
我們能容許B為0，但是A也跟著變成0就沒戲唱了。所以我們只好讓sin(kL)為0，也就是假設一個屬於自然數的n：
要注意讓k為0也會沒戲唱（那樣會讓特徵能量也變成0）。所以波函數：
現在，求得A的最後一個步驟，是量子力學很常提到的、有關機率的歸一化（Normalization）。既然我們在阱裡面任何一個地方都有機率找的到粒子，那麼也就是說，粒子一定在阱裡面（強調過了很多次），若把阱裡面每一個地方找到粒子的機率加總，就會是1（一定為真）了。為了考慮到波函數也有複值或負數的問題（或不把波函數看作機率），我們有：
所以說，用上餘弦的倍角公式和三角恆等式，可以得到：
於是A的絕對值就出來了：
儘管A有可能是複數，因而被絕對值掩蓋了起來。但求計算方便，不妨直接把絕對值脫掉，得到了A：
最後我們終於得到一維無限深方形阱裡粒子的波函數和特徵能量：
不要忘了約化普郎克常數就是把普郎克常數除以2π。
＊
上面在歸一化時，提到波函數有正負而不能被看作機率的問題。如此一來，波函數就只能被稱作「機率幅」（Probability Amplitude）了。首先是讓能級n從一到十的機率幅動畫：
也就是，真的在阱裡面有地方找不到粒子。天哪，太可怕了。而保持能級不變，把阱的寬度拉長的話：
好像在把彈簧拉長呢。那麼，機率又是如何隨s能級升高而變化呢？
其中虛線為機率幅，注意到了嗎？
＊
有關公式的LaTeX語法：
\mathcal{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi( \textbf{r})+V(\textbf{r})\psi(\textbf{r})=E\psi(\textbf{r})
＊
有關過程的LaTeX公式：
\begin{align*}
\nabla^2f&=\nabla\cdot\nabla f \\
&=\nabla\cdot\left ( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right ) \\
&= \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2} \\
&= \sum_i\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}
\end{align*}
\begin{Bmatrix}
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\psi(0)=B=0 \\
\psi(L)=A\sin(kL)=0
\end{matrix}\right.
\begin{align*}
1&=\int_{-\infty}^\infty\left | A\sin\left ( \frac{n\pi}{L}x \right ) \right |^2dx \\
&=|A|^2\int_0^L\sin^2\left ( \frac{n\pi}{L}x \right )dx \\
&=|A|^2\int_0^L1-\cos^2\left ( \frac{n\pi}{L}x \right )dx \\
&=|A|^2\;\frac{1}{2}\int_0^L2-1-\cos\left ( 2\frac{n\pi}{L}x \right )dx \\
&=\frac{1}{2}|A|^2\left [ L-\int_0^L\cos\left ( 2\frac{n\pi}{L}x \right )dx \right ] \\
&=\frac{1}{2}|A|^2\left [ \left. L+\frac{L}{2n\pi}\sin\left ( \frac{2n\pi}{L}x \right )\right|^L_0 \right ] \\
&=\frac{L}{2}|A|^2
\end{align*}
＊
既然提到了魔法科高中的劣等生這部動畫，依照我龜毛的性格就不得不對她好好認真一番了。在糾正這些「不可能但又看起來好炫的科幻設定」時也多少能學點物理。完了完了我好像柳田理科雄老師上身了哈哈。
讓時間往前拉八十年
- 冰霧神域（ニブルヘイム）
首先就拿司波深雪的「冰霧神域」開刀好了。該魔法的要點是「讓一定範圍內的分子冷卻」，是熱傳導的概念。可是這世界的總能量是不變的啊，會變得只有可使用的能量（剩下的都變成熵去了），所以......那些熱都到哪裡去了？
飛行魔法我不想解釋。
- 乾冰雹暴（ドライ・ブリザード）
該魔法是「將空氣中的二氧化碳凝固成固態，並將所放出的熱能轉變為動能發射出去。速度和氣溫成正比」。
首先，二氧化碳是氣體，凝固了體積可是差了很多倍。那就是，得要有足夠多的二氧化碳才有可能製造足夠且具有殺傷力的子彈。
再者，我在還沒寫出公式前，就能斷言熱能和速度間不是成正比這麼簡單的事情了。考慮二氧化碳的氣態比熱為sg，昇華熱為Hs，質量為m，室溫為TR。基於二氧化碳在-78°C直接昇華，我們不考慮液態的熱，則有：
我們要轉成動能的熱能來自於降溫過程中放出的熱，以其凝華過程中放出的熱。現在，既然速度有個平方在那邊，就不能說速度和室溫之間成正比關係。
這是在「凝固過程中的熱能能完全轉為動能而不增加熵」的前提下導出的速度公式。不過設定內是不是存在另一套物理公式我就不曉得了，況且我們也不知道乾冰子彈在空氣中飛行的摩擦生熱會不會讓子彈飛到一半就昇華不見。
干涉重力減輕重力的魔法我不想解釋。但是：
- 千疊返（千畳返し）
在小說中的設定是「阻隔南北向的地心引力，使物體因地球自轉離心力由東側滾到西側」。首先，地心引力恆指向地心，「南北向的地心引力」這一詞有點怪怪的。既然我們的南北向是定義在垂直地球表面的平面上，那根本就沒有南北向的地心引力可以消除。
再者，消除了地心引力後，要注意的是物體還有慣性（乍看之下很像是離心力）。我們每個人都以地表轉速轉動著，空氣也是，我們看來靜止的物體都是，帶有一定的轉速（轉軸就是地心）。從外太空的角度來看，去除了地心引力（向心力）後，物體會依照慣性往切線方向飛出去。從地表來看，就像是球突然飄了起來一樣。而既然物體的軌道和地表不同，那麼人和物體之間一定會產生誤差。
也就是，在一定時間t內，地表上的人循著地表走了ωrt這麼長的圓弧，而不受重力束縛的物體則飛了ωrt這麼長的直線。在地球上的人看來，物體反而漸漸地往西邊飛。想要保持在人上頭的話，勢必要走r tan(ωt)這麼長，而tan(ωt)在角度介於零度到九十度間是注定要比ωt大的，也就是物體要在太空中越飛越快，地球上的人才有機會看起來像是停留在頭上不動。
- 分子分割（分子ディバイダー）
除了量子外，科幻作家也喜歡的莫過於「庫倫力」了。所謂庫倫力，就是靜電力啦，存在於電荷之間的吸引或排斥力，也是電子被質子束縛的主要因素。原子核不會爆開，則是因為質子和中子的強力吸引著。
如果沒了庫倫力會怎麼樣？沒怎麼樣，就頂多電子不認識質子罷了，然後電子就會因為沒了向心力而依照慣性飛出去。既然電子都亂亂跑了，也就沒有什麼分子可言了。
另一方面原子核會因為只剩下強力而往內收縮，會有什麼後遺症我不敢說。
真的要在沒有庫倫力下分割對象，還要確保讓庫倫力恢復後不會產生一大堆麻煩的後遺症，那還真要高超的技術。
- 窒息亂流（窒息乱流）
該魔法是「讓人吸入氧濃度極低的空氣並使之窒息」。首先就是體內循環的血液要一定時間後，氧濃度過低的血才會流到腦部。況且窒息也不是說一聲「窒息亂流」就可以馬上令人倒下的那麼快。
原來想子還可以當子彈發射喔......果然，我早就做好希望破滅的心理準備了。
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