薛丁格的內褲：高維無限深方形阱 Higher-Dimensional Boxes

想必各位對於一維的空間中找粒子波函數感到不滿足吧？也是啦，一維也不怎麼常見到。

來源：《Steins;Gate》遊戲畫面

這次我又想起另一部動畫了。


另一個比較有知名度的就是命運石之門（Steins;Gate）了。Stein在德文裡為「石頭」（在英文裡好像是指陶瓷啤酒杯），Gate就是英文的「大門」了。本作為由5pb.和Nitro+合作的「妄想科學ADV系列」中的一部遊戲。真的很科學。

本作重心在於「時空旅行」上，免不了會出現像「世界線」（薛丁格的貓）等的專有名詞，而科幻的設定則造就了天才少男少女，也時常玩意些如約翰·提托（John Titor）的時空旅行哽。提到時空旅行就覺得一定會和量子力學扯上關係，不過遊戲中貌似沒有描述太多（在二次創作中倒是有，大概也是我跑來研究量子力學的主要原因之一吧。）

其中最吸引我的大概是「電話微波爐（暫定）」了吧。感覺就是好有喜感，想到要用電話操控微波爐。微波爐一直是動畫作品中最神秘的日常家用電器啊。

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回來，那麼，我們在上一篇文章討論過有關於一維無限深方形阱的波函數了，但是生活中很多時候可不是只有一維那麼單純。

不過就是因為單純，我們在解物理問題時常常會從一維狀況開始推廣起，就像力學那樣。我們今天要盡到二維狀況，我們使用的阱還是類似一維那樣，但這次可以想像在一個平面上，在一塊方形區域外有無限大的位能，但仍要使用薛丁格方程式：

那麼，波函數ψ(x,y)要怎麼表示？通常我們假設ψ(x,y)為兩個分別以x和y為自變數的函數的和外，也可以假設為他們的積（就像指數函數那樣）。因此，我們有：

兩邊都除以ψ_x(x)和ψ_y(y)，可以得到：

也就是括號中兩項分別只和x、y有關。我們把能量E拆成E_x和E_y分給他們。也就是：

把各個方向的波函數移項過去，可以得到：

看，這樣不就和一維的狀況很類似了嗎？所以：

我們先前的假設是波函數就是這兩個函數的積，所以：

能量則是：

按照這個模式，三維的情況則是：

我們就知道如何在立體的盒子中找捉摸不定的粒子了。

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有關過程的LaTeX語法：

-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\psi(x,y)=E\psi(x,y)

-\frac{\hbar^2}{2m}\left (\psi_y(y)\frac{\partial^2}{\psi_x(x)\partial x^2}+\psi_x(x)\frac{\partial^2\psi_y(y)}{\partial y^2} \right )=E\psi_x(x)\psi_y(y)

-\frac{\hbar^2}{2m}\left (\frac{1}{\psi_x(x)}\frac{\partial^2\psi_x(x)}{\partial x^2}+\frac{1}{\psi_y(y)}\frac{\partial^2\psi_y(y)}{\partial y^2} \right )=E

\left\{\begin{matrix}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi_x(x)}\frac{\partial^2\psi_x(x)}{\partial x^2}=E_x \\
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi_y(y)}\frac{\partial^2\psi_y(y)}{\partial y^2}=E_y
\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi_x(x)}{\partial x^2}=E_x\psi_x(x) \\
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi_y(y)}{\partial y^2}=E_y\psi_y(y)
\end{matrix}\right.

\psi_x(x)=\sqrt{\frac{2}{L_x}}\sin\left ( \frac{n_x\pi x}{L_x} \right )

\psi(x,y)=\sqrt{\frac{4}{L_xL_y}}\sin\left ( \frac{n_x\pi x}{L_x} \right )\sin\left ( \frac{n_y\pi y}{L_y} \right )

\psi(x,y,z)=\sqrt{\frac{8}{L_xL_yL_z}}\sin\left ( \frac{n_x\pi x}{L_x} \right )\sin\left ( \frac{n_y\pi y}{L_y} \right )\sin\left ( \frac{n_z\pi z}{L_z} \right )

E=\frac{h^2}{8m}\left ( \frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}+\frac{n_z^2}{L_z^2} \right )

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前面提到的，在Pixiv上見的到的量子力學，其中一張就是在描述哈密頓量和機率函數。說真的，那張圖就是在寫哈密頓量的定義加上機率函數的定義，沒有微積分，沒有三角。