薛丁格的內褲：WKB近似 WKB Approximation

嗯哼嗯哼嗯嗯嗯嗯嗯嗯——！

螺線的模樣真美！投影也不輸人！

話說別看好像「WKB」三個英文字就好炫一樣，「WKB近似」這個名稱源自於研究他的Gregor Wentzel、Hendrik Anthony Kramers和Leon Brillouin三位科學家。他們在1926年提出這種近似方法，用來解決薛丁格方程式的近似問題，儘管三年前有位Harold Jeffreys提出了類似的微分方程近似，但是他快要被世人遺忘了，哭哭ㄛ。

我們先前討論過不含時的薛丁格方程式，長起來像上面那副德性。現在我們考慮一維狀況，試著要解出他的解——波函數。說是要求解，不過事實上看起來應該不會太難，我們把有微分過的和沒微分過的放一旁，留下等號左邊孤伶伶的二次微分：

而根據經典的動量定義（p=mv），可以把等號右邊的分數用動量表示：

問題來了，什麼樣的函數在微分兩次後，不但和自己差了某個系數的平方倍，還會多出一個負號？三角函數中的正弦或餘弦函數微分兩次後會多出一個負號，但是指數函數呢？當然，我們可以直接假設波函數是某個正弦或餘弦函數，或是用帶有虛數單位的指數函數來統括正餘弦函數。我們假設波函數有下面的形式：

或者是用另一種更簡潔的方式表達：

其中的A(x)和φ(x)都是實質函數。把他帶回原本的不含時薛丁格方程式，可以得到：

由於我們先前做出過A(x)和φ(x)的定義，而同時動量和約化普郎克常數都是實數，所以就整條式子的實部和虛部而言可以得到兩個等式：

第二條等式的樣子怪怪的，看到了嗎？看起來好像是某兩個函數乘在一起的導數。因此我們得知：

也就是A²φ'是一個常數，天哪！也就是說：

其中C_a是一個常數，是因為積分而產生的另一個常數的平方根。但是相較之下第一條等式就不太好解了。假若A的變化幅度很小，也就是整個波函數起伏（振幅）不大，根據WKB近似的精神，我們把他當成零去了。不難想像，代表「斜率的斜率」如果很小，那麼整個函數的起伏就不怎麼大了。於是乎：

最終得到φ(x)的近似：

其中C_b是另一個因積分而產生的常數。綜合以上幾條等式，我們得到了另一種波函數的表達方式：

既然我們對於常數不感興趣，就是著合併吧。感謝指數函數的特性，我們可以直接把iC_b給分離出來，依照尤拉公式可以分出實數部分和虛數部分。因此我們的新常數C是個複數，老天哪。

耶！有別於正弦函數的另一種波函數！

＊

有關過程的LaTeX語法：

A''+2iA'\phi'-A(\phi')^2+iA\phi''=-\frac{p^2}{\hbar^2}A

\psi(x)\approx\frac{C}{\sqrt{p(x)}}\exp\left (\pm\:\frac{i}{\hbar}\int p(x)dx \right )

＊

事實上前幾天我在寫薛丁格方程式的近似解時，參照的是維基百科的證法，不過那證法跳太快了，儘管我在當中學到了些東西，但還是無法把整個近似解給證出來。

因此我參照了這份文檔。又再次證明了維基百科寫的......嗯，讓我有微詞。