如果高校少女讀了法蘭西斯·高爾頓：馬克士威-波茲曼分布 Maxwell-Boltzmann Distribution

我們先前整合了一大堆概念求出了理想氣體的粒子整體分布後，終於可以來求我們比較感興趣的速率分布了。

隨著證明推進，原本還以為導出了粒子的分布就玩了嗎？那也只是喘口氣而已。在瀏覽以下推論過程前，對於馬克士威-波茲曼統計不了解的人可以到之前的一篇文章看看。

首先，我們都應該知道動能和速度之間的關係。那就是：

而馬克士威-波茲曼統計的粒子機率分布為：

我們先就一維的狀況討論。所以把能量用速度表達，把他帶進去粒子機率分布可以得到：：

並且同時我們要求這個分布要歸一化，我們替他乘上一個歸一化係數N：

哇，先等一等，我們考慮到原本的分布P(v)有個包含v²的指數函數，勢必要用上誤差函數（Error Function）。這個名稱原本源自於測度論，但是因為其特殊的積分而被應到到其他領域，所以保留了其名稱。誤差函數的定義為：

而有趣的是x趨近於無限大時誤差函數會趨近於1。由於指數函數裡的數必須是微小元的平方再加個負號，所以回到歸一化的步驟，我們如果想要用上誤差函數的話就得這麼做：

因此，根據誤差函數的定義：

而我們的歸一化常數N則為：

那麼歸一化的一維速度分布就是：

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對於三維的狀況，就跟我們把一維無限深方形阱推廣到二維乃至三維的狀況一樣。

那麼就好說了。若歸一化後的分布為 f 的話：

而v為三個速度向量的平方和。但這僅僅是就三個分量而言，我們真正想知道的是速率v的分布。相較於平方和，若想真正探討不是任何分量影響、最單純速率的話，倒是可以把速率v看成所有方向速率的和。

而所有方向速率的和，可以在以三個速度分量為座標軸的相空間上視覺化為一個薄殼圓球的體積。

這顆圓球的內部半徑為v，薄殼厚度為dv。當然要算球體用直角坐標系是不容易的，那就用球座標系（Spheral Polar Coordinates）吧。

球坐標系用三個參數表示一個立體空間中的點，和直角坐標系一樣。這三個參數分別是半徑r、方位角θ、天頂角φ，合在一起變成了 (r , θ, φ)。在數學中這樣表示沒問題，但是在物理中方位角和天頂角要反過來，不過直觀上來看先描述方位角（xy平面上的）比較好思考吧。

在上圖中θ仍是方位角、φ仍是天頂角。而在之中的一個微小體積元dV則可以這麼表示：

別忘了弧長是角度（弧度）乘上半徑。若dθ、dφ取的夠小，就可以把微小體積元看做一個立方體，長寬高在上圖中用不同顏色標了起來。而要取得薄殼的體積的話，就要把這個微小體積元繞過整個球面積分。也就是說，不但在θ上面要繞過一圈（2π），φ上面也要繞過一圈。

回到我們的速率分布，我們可以這麼寫表示所有方向的速率的總和：

dθ就可以直接替換成2π了，而dφ的話要小心原本的被積分式裡面有個sin φ，所以：

兩邊同時對dv積分（或直觀地說兩邊同除dv），就可以得到了我們一開始的式子。

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畫在數線上的話，是諸看倌非常熟悉的分布：

那就是，我們有一個機率最大的速度！我們先前在討論MB統計時說過能量為低的粒子機率越大，而這次導出來的結果竟然速率不是這樣，太神奇了，傑克！

Behold！這就是物理和數學的奇妙所在！

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有關公式的LaTeX語法：

f(v)=v^2\sqrt{\frac{2}{\pi}\left ( \frac{m}{k_\text{B}T} \right )^3}\exp\left ( -\frac{m}{2k_\text{B}T}v^2 \right )

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有關過程的LaTeX語法：

N\sqrt{\frac{2k_\text{B}T}{m}}\int_0^{\infty}\frac{\exp \left ( -\frac{mv^2}{2k_\text{B}T} \right )}{Z}\;d\sqrt{\frac{m}{2k_\text{B}T}}\:v=1

NP(v)=\sqrt{\frac{m}{2\pi k_\text{B}T}}\exp\left ( -\frac{mv^2}{2k_\text{B}T} \right )

dV=r^2\sin \varphi \;d\theta\; d\varphi\; dr

f(v)\, dv=4\pi\left ( \frac{m}{2\pi k_\text{B}T} \right )^\frac{3}{2}\exp\left ( -\frac{mv^2}{2k_\text{B}T} \right )v^2\; dv