危機微積維基：傅立葉級數 Fourier Series

我們又要來逼近函數了。


用模擬過程總比用一條公式當開場白好太多了。我說了「又」了嗎？是的，本網誌第一篇文章就是描述可微函數的泰勒級數。但是泰勒級數並不能處理不可微分的函數，因此我們必須要有另一個選擇。

約瑟夫·傅立葉（Joseph Fourier，1768年—1930年）提出了「用三角函數構成的無窮級數描述週期函數」的概念，隨後這個級數就以他的名字命名為「傅立葉級數」（Fourier Series）。對，沒錯，就是那個名字很容易和很多艱澀東西聯想在一起的數學家傅立葉。

要小心的是這裡是指數函數而非直接以三角函數表示，在後面的計算中虛數單位會給我們一個驚喜。t者的是時間，T則是週期，ω指的是角速度，可以透過 得知。

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單就級數本身沒什麼好談的，來看週期性函數吧。週期函數真要叫的話，普通人大除了三角函數以外的不太認識，不過方波應該是認識的。所謂方波，顧名思義，就是在兩個數值之間震盪而中間幾乎沒有轉換過程。看起來有點方方的，所以被稱作方波（Square Wave）。

也因為方波只有高低兩個值的特性，讓他成為電路訊號中重要的一員。不過要如何描述方波呢？用泰勒級數不行，因為他有不連續的點。那就只好用傅立葉級數了。我們先從係數a看起，，而這裏我們使用的方波週期為2，角速度為π，當n等於0的時候，有：

而繼續解析其他的n的話，可以得出：

從方波圖形我們得知把積分拆成從t=0積到t=1和從t=1積到t=2兩部分會比較好計算。在t=0到t=1之間f(t)給出的是1，而在t=0到t=2之間f(t)給出的反而是-1，所以：

而透過尤拉公式把指數函數轉換成三角函數則可以：

要記得cos和sin的特性，他們在nπ的地方只能是-1、1、0三個值其中一者。而考慮n的話，可以得到：

現在我們來看看n從-5到5之間傅立葉級數的情況：

而sin裡面的負號可以提到外面來，所以我們有了方波的傅立葉級數（我們把包含虛數符號的都省略掉了，所以你可以直接拿下面的級數去畫圖）：

從而得到一開始的圖形：

紅線是方波，藍虛線是採用四項傅立葉級數的逼近，其他黑線則是每一項傅立葉級數。諸看倌應該多少看出來藍色的波形會在方波的不連續點附近突起一小塊，那就是吉布斯現象（Gibbs Phenomenon）。

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還有其他的函數逼近，例如  在-1到1之間的片段：

那麼對於這種根本不是週期函數的圖形我們怎麼使用傅立葉級數？那就取個片段，把那個片段的長度當作週期下去計算。在上圖中我們使用三角函數所建構的週期波（週期為2）有一部份和  重疊，就是這麼一回事。

另外還有方波之外還有鋸齒波（Sawtooth Wave），也可以用傅立葉級數逼近。

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有關公式的LaTeX語法：

f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{in\omega t},\;\;\;a_n=\frac{1}{T}\int_Tf(t)e^{-in\omega t}\,dt

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有關過程的LaTeX語法：

\begin{align*}
a_n&=\frac{1}{2}\int_0^2f(t)e^{-in\pi t}\;dt  \\
 &=\frac{1}{2}\left ( \int_0^11\cdot e^{-in\pi t}\;dt+\!\int_1^2(-1)\cdot e^{-in\pi t}\;dt \right ) \\
 &=\frac{1}{2}\left ( \int_0^1e^{-in\pi t}\;dt-\!\int_1^2e^{-in\pi t}\;dt \right ) \\
 &=-\frac{1}{2in\pi}\left ( e^{-in\pi}-e^{-in\pi\cdot0}-e^{-in\pi\cdot2}+e^{-in\pi} \right ) \\
 &=-\frac{1}{2in\pi}(2\cdot e^{-in\pi}-e^{-2in\pi}-1)
\end{align*}

\begin{align*}
a_n&=-\frac{1}{2in\pi}(2\cdot e^{-in\pi}-e^{-2in\pi}-1) \\
 &=-\frac{1}{2in\pi}\left [ 2\cos(-n\pi)+2i\sin(-n\pi)-\cos(-2n\pi)-i\sin(2n\pi)-1 \right ] \\
 &=-\frac{1}{2in\pi}\left [ 2\cos(-n\pi)+2i\sin(-n\pi)-1-0i-1 \right ] \\
 &=\frac{1-\cos(-n\pi)-i\sin(-n\pi)}{in\pi}
\end{align*}

\begin{align*}
n=-5 &,\;\;\; \frac{2}{-5i\pi}e^{-5i\pi t}=\frac{2}{-5i\pi}\cos(5\pi t)+\frac{2}{-5\pi}\sin(-5\pi t)\\
n=-4 &,\;\;\; 0\\
n=-3 &,\;\;\; \frac{2}{-3i\pi}e^{-3i\pi t}=\frac{2}{-3i\pi}\cos(3\pi t)+\frac{2}{-3\pi}\sin(-3\pi t)\\
n=-2 &,\;\;\; 0\\
n=-1 &,\;\;\; \frac{2}{-i\pi}e^{-i\pi t}=\frac{2}{-i\pi}\cos(\pi t)+\frac{2}{-\pi}\sin(-\pi t)\\
n=0 &,\;\;\; 0\\
n=1 &,\;\;\; \frac{2}{i\pi}e^{i\pi t}=\frac{2}{i\pi}\cos(\pi t)+\frac{2}{\pi}\sin(\pi t)\\
n=2 &,\;\;\; 0\\
n=3 &,\;\;\; \frac{2}{3i\pi}e^{3i\pi t}=\frac{2}{3i\pi}\cos(\pi t)+\frac{2}{3\pi}\sin(3\pi t)\\
n=4 &,\;\;\; 0\\
n=5 &,\;\;\; \frac{2}{5i\pi}e^{5i\pi t}=\frac{2}{5i\pi}\cos(\pi t)+\frac{2}{5\pi}\sin(5\pi t)
\end{align*}

f_\text{square}(t)=\frac{4}{\pi}\left ( \sin(\pi t)+\frac{1}{3}\sin(3\pi t)+\frac{1}{5}\sin(5\pi t)+\cdots \right )