李娘二姊不辣：線性變換 Linear Map

來源：網路

高中的教科書中有提及「線性變換」四個字，卻連為什麼他是線性的也說不清楚，只用了「矩陣乘法」來定義他是線性的（還會特別加註矩陣加法不是線性變換）。

我個人對於這種半調子的定義最厭惡了，所以......噗哧，不過我接下來要寫的東西大概是高中生也看不懂的東西吧（所以教科書才會用半吊子的定義搪塞學生啊），我會盡量寫的能讓人看懂的。



線性代數還有他的快樂的夥伴們每天都在線性來線性去，所謂「線性」（Linearity）最初可以說是是由直線衍伸出來的概念。在平面（）上一條直線可以簡潔地用y=ax+b來表示，其中a和b皆為純量。在空間（）中，則用兩個方程式來解出。在往後解直線或點的方程式的過程中，我們不會任意合併x、y、z其中一者，也不會出現像這種會畫出拋物線的東西，「線性」的概念於是就誕生了。

從上面的運算中，衍伸出了線性必須滿足的兩個性質：

1. 可加性（Additivity）：
2. 齊次性（Homogeneity of Degree 1）：

於是就有了底下這一條很經典的線性關係：

我們不會任意合併xy的最重要一點就是他們兩個線性獨立（Linear Independency）。意即，其中一者不能以有限的線性組合來表示另一者。給x乘上或加上任何數，終究也不能成為y。這和函數的概念不同，函數僅僅只是將x集合中的元素映射到y集合中（如y=5x+2將x=1映射至y=7，並非定義y）。這個性質用到物理上的話就是xyz三個方向的運動獨立性，讓x方向的物理量改變，不會讓y方向的物理量跟著改變。

我們在依據這個線性獨立的概念，將向量也納進來。我們在討論向量空間時談到，所謂向量空間就是由一群向量集合（可以是線性獨立的基）搭配線性組合（運算和公理）張成的空間。而對於某一向量空間的基，若能找到一個函數（變換）f，符合上面那條經典的線性關係式，那麼這個變換就是線性的，經過映射過後的向量（基）則稱為像（Image）。筆者我在討論方陣的特徵值時，雖然有談到線性變換這個名詞，卻沒給出明確的定義，在此補遺。

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那麼要怎麼求出旋轉的變換呢？雖然旋轉本身看起來不太像是「線性」的東西，但是施加在向量身上的運算卻是線性的。

我們在平面上，讓兩個單位向量分別逆時針旋轉α。若此變換為T，則有：

注意這裡的向量以矩陣表示。則對於任何一個二維向量我們假設有：

諸看倌可以用簡單的向量和角度試算看看會不會成立。若成立了，他就是線性的變換，所以我們就有了表示旋轉的變換，並可以用矩陣表示：

Vorduu rereem.

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有關公式的LaTeX語法：

f\left ( \sum_i \lambda_ix_i \right )=\sum_i\lambda_if\left ( x_i \right )

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有關過程的LaTeX語法：

\begin{matrix}

T(\begin{bmatrix}

1\\ 

0

\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}

\cos\alpha\\ 

\sin\alpha

\end{bmatrix}\\ 

T(\begin{bmatrix}

0\\ 

1

\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}

-\sin\alpha\\ 

\cos\alpha

\end{bmatrix}

\end{matrix}

\begin{align*}

T(\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix})&=aT(\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix})+bT(\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix})\\ 

 &=a\begin{bmatrix} \cos\alpha\\ \sin\alpha \end{bmatrix}+b\begin{bmatrix} -\sin\alpha\\ \cos\alpha \end{bmatrix} \\ 

 &=\begin{bmatrix} a\cos\alpha-b\sin\alpha\\ a\sin\alpha+b\cos\alpha \end{bmatrix}

\end{align*}