向量分析大典：散度 Divergence

散度最為人知的地方在於點電荷的電場。由於單一正電荷的電力線是向外發散的，因此我們可以計算它的散度。
和旋度同一掛，散度（Divergence）也是向量分析的一員。既然證過了旋度，那麼散度也應該不會難到哪裡去了，比較大的差別就是散度會牽扯到三維空間。

就和旋度有環量在支撐一樣，在談散度前我們也要來談談通量（Flux）。就是那個電通量和磁通量，對了！

所謂通量，就是向量場對於有向曲面的積分。也就是說，通量和環量一樣，是個純量。假設有個向量場V，以及一個有向曲面Σ及微小面元σ（方向垂直表面），那麼通量ΦV(Σ)可以這麼寫：（粗體者為向量）

這裡有兩個積分符號的曲面積分，對應到環量的路徑積分，也可以理解為「把向量場V和微小面元σ的內積加總起來」。而由於微小面元σ可以是由任意兩個方向的微小元共同組成，因此也可以說是「加總兩次路徑積分」。

那麼現在就來談談散度吧。如同旋度是由環量除以無限小的面積，散度的定義是把無限小的有向曲面Σ上向量場V對微小面元σ的曲面積分除以曲面Σ所圍成的體積Δφ，而且曲面Σ的方向是由內而外的。

和旋度不同的是散度是純量。

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可是三維的散度在計算上不像旋度那麼簡單（尤其是封閉曲面的表述方法），因此我們不得不使用那個麻煩的散度表述方法，而我將會再次證明這條公式。

首先我們來建構一個無限小正方體，各個邊的邊常都是dxdydz，在正方體中間有一個點P(x,y,z)，而正方體的六個面構成有向曲面Σ。

此時再賦予一個向量場V。依照曲面積分的線性性質，對於整個表面積的積分可以看成六片面積的積分的加總，故得：

接著再各取V的分量，並把負號提出來：

接著再把dxdydz提出來：

很有偏微分的味道了對吧？

這樣我們就有了微小正方體的通量了。接著定義微小體Δφ為dxdydz：

把通量除以微小體Δφ，就是我們要的散度了。

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有關公式的LaTeX語法：

\textup{div}\mathbf{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}