向量分析大典：偏導數 Partial Derivative

大多數時候我們計算微積分是在平面數計算，我們所使用的函數都是簡單地從x映射到y，在二維的平面上構築這樣的線條。
問題來了，如果是像力和距離這樣簡單的函數對應關係那還應付的過去，如果是像電磁學或流體力學那樣需要牽涉到空間的探討呢？

比如說啦，像上圖那樣的，一顆電荷造成的電場位能

我們先不討論物理那一塊，先就底下這個函數來看：

讓我為諸看倌介紹：sin(x)+sin(y)小姐，今天擔綱我們的特別來賓。
不曉得諸看倌有無曾聽過一首詩：「橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。」嗯嗯，吟得一首好詩！但是我們這位sin(x)+sin(y)小姐呢，則是「橫看成面側成波」，而這是探討f(x,y)在空間上的微分的一個重要性質：我們要切片。

我們要找一個面的切線，那勢必是不實際的，因為一個面上的一個點有無限多條切線（想像一下在一顆球上某一點放上一支筆，用筆代表切線的話，每移動筆、旋轉筆，都是不同的切線！）因此我們要把它給剖開，讓他成為在一個特定面上的一條線，再去找某點上的切線。如此一來，就可以把問題打回微分的原形了，我們仍是在二維空間上求切線，只是這次我們要自己定義二維空間。

我們這位sin(x)+sin(y)小姐，我們限定她的定義域為-π≤x≤π，-π≤y≤π。現在，讓我們構築一個平面，他在三維空間中即是f(y,z)=0，平面上任何一點的x值皆為0。如此一來，sin(x)+sin(y)小姐就會退化成sin(y)妹妹。

看哪！這樣下來對sin(y)妹妹求導數不是簡單多了？她就是cos(y)妹妹啊！
這次讓我們在構築另一個平面，使平面上任何一點的x均為π/2，而sin(x)+sin(y)小姐退化成sin(π/2)+sin(y)妹妹（注意她的常數sin(π/2)那一項）。

她的導數還是cos(y)妹妹。事實上我們在找導數妹妹的時候，做的就是偏微分。我們故意讓x等於某一個值，並藉此來讓難纏的sin(x)+sin(y)小姐退化成好做的二維圖形。我們來看看我們做了什麼：

而實際畫在立體空間中的話：

其實不難看出，求某一個方向的導數再簡單也不過，同方向的不同「線條」僅僅只是差了「常數」那麼多，不影響斜率（均值定理）。

＊

有關偏微分的計算，事實是他非常的簡單。其觀念類似於微分，但是和普通的微分差就差在於空間上的函數是同時由x和y共同決定的函數，平面上的函數則只有x。我們勢必要把其中一個打成常數。
我們構築平面的動作就是在把xy其中一者打成常數，這樣我們才能使用我們所熟悉的微分。只不過我們構築的平面是已經知道上面的x值了，我們如果給z=f(x,y)構築一個x值為n的平面（n可以是函數定義域上的任何一個數，但是z=f(n,y)絕非立體圖形，比較像是包含一個常數n的函數z=f(y)），那麼：

我們只專注在y方向，所以x就可以看成常數。如果是求x方向的導數，那就把變數y打成常數m。