齊攻略三姊妹：高斯、格林、斯托克斯！ Gauss, Green and Stokes

我在說什麼（笑。
為什麼「三姐妹會脫口而出」（笑

向量分析的「三姊妹」......
噗哧......
不好意思，向量分析的「三定理」，分別是「高斯散度定理、格林定理、斯托克斯旋度定理」。這三個定理分別可以用在散度、面積和旋度的計算上，但是他們三個其實只是由一個公式演化而來。

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諸看倌看到這裡想必猜到了，對，高斯、格林、斯托克斯三條公式和微積分脫不了關係。那麼我們先來看看吧！這條就是所謂的高斯定理（或稱散度定理，Divergence Theorem），這裡的dφ是為了表述方便而寫成這樣，那麼我們就把他連同divV拆開來，同時右邊dσ也拆開來：

也就是說我們把dσ當成是一個小正方體的三個面dxdy、dydz、dxdz（在無限小的尺度下什麼形狀不重要，重要的是能簡易計算），然後把括號外的東西都乘進去：

小心內積有分配律。現在把左式拆開來，並且右式把V換成其分量：

再將右式的積分拆開來，並把左式每個積分裡面的dV積起來，別忘了dV本來就是從V微分而來，這裡機回去只是逆運算罷了。不過既然從三重積分降級為二重積分了，積分的對象只好從體積變為表面積。（就好像曲面的偏微分是其邊緣一樣。）

如此一來等號兩邊就是完全一模一樣的東西了，故定理成立，高斯被攻略了。

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這條則是格林定理（Green's Theorem），看起來和旋度有點神似，不過至少格林定理是二維平面上的運算。格林定理最奇葩的地方在於等號左右的正負號是相反的，但是也要注意相對地積分方式也不同。考慮到路徑積分的Γ具方向性，我們可以用正方形來證明。

既然這裡我們要循著路徑分別讓函數U和V對著dx和dy積分，我們就把正方形的邊拆成四個部分（就和當初我們導旋度公式一樣）。這裡因為x增長方向和dx方向的關係與y增長方向和dy方向的關係是相反的，所以路徑積分完後會跑出一個負號出來。這樣格林很容易就被攻略了。

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而這條公式，就是斯托克斯定理（Stokes' Theorem），可以說是格林定理和高斯定理的最終型態。寫成這樣很像是格林公式在三維的推廣，而同時斯托克斯還有另一種型態。

事實上，斯托克斯定理的證明和格林定理的證明是差不多的（我們把曲面Σ給特殊化），相關證明可以參閱旋度公式的推導。

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看出什麼了嗎？

沒錯，事實上高斯散度定理和斯托克斯旋度定理都是散度和旋度的反運算。在有通量和環量的情況下，我們所做的是求散度和旋度；而存在散度和旋度時，我們用反運算來求通量和環量。

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有關公式的LaTeX語法：

\int\!\!\!\int\!\!\!\int_\Omega \textup{div}\mathbf{V}d\varphi=\iint_\Sigma\mathbf{V}\cdot d\boldsymbol{\sigma}

\iint_{\Sigma} \left ( \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial U}{\partial y} \right )dxdy=\oint_\boldsymbol{\Gamma}\left( Udx+Vdy \right )

\iint_{\Sigma} \left ( \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial U}{\partial y} \right )dxdy+\left (\frac{\partial W}{\partial y}-\frac{\partial V}{\partial z} \right )dxdy+\left ( \frac{\partial U}{\partial z}-\frac{\partial W}{\partial x} \right )dxdy =\oint_\Gamma\left( Udx+Vdy+Wdz \right )

\iint_{\boldsymbol{\Sigma}} \textbf{rotV}\cdot d\boldsymbol{\sigma} =\oint_\Gamma \mathbf{V}\cdot  d\boldsymbol{\gamma}