特徵分析的未來就全靠這條方程式了！
我呢，下意識討厭特徵值。
噗哈哈哈wwwwww，所以說呢，言歸正傳，對一個非零向量x作用變換A，若等同於該向量乘上一個純量λ時，稱該純量λ為變換A之特徵值。
什麼是「變換」呢？若此變換為線性的，則此變換可寫作矩陣。不不不，等等，你真的會以為我會對前面那句文謅謅的話妥協嗎？當然不是囉，我又不是寫維基百科。
要講起「線性變換」（或稱「線性映射」，Linear Map），要先從「基向量」談起。所謂「基向量」（基底向量，Basis Vector），顧名思義，就是刻畫一個向量的基本工具（更精確地說，是包含向量、定義向量的向量空間（Vector Space））。
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| 譬如在一個二維的向量空間中，要描述一個向量的基本工具有xy兩個。 |
現在把這些基向量分別以ei的方式命名之，並且將他們集合起來，其集合稱為「基」（Basis），以B命名之，一個向量空間有幾維，全看有幾個基向量。今在n維向量空間V中考慮一個向量u：
其中evi為向量空間V的其中一個基向量，λi為純量。考慮一個函數，將V上的向量線性映射（規定集合間元素對應關係）到另一個向量空間W，即f : V→W是線性的，可知：
且向量空間W的基Bw可以這樣定義：
我們從先前的映射得知映射過後的向量可以映射過後的基向量表示。既然我們不能保證V的基映射後會和W的基完全相同，但基於V的基向量映射後仍為向量，我們用W的基向量來描述那些應設過後的基向量。也就是說：
注意那個μ，每個evi都有一組這種純量，然後再來看看f(u)：
也就是說，在設定好evi和ewi的情況下，我只要掌握了μij，就可以掌握f(u)了。看哪！μij可是有兩個參數ij呢，照理來說一個f(u)應該會有i*j個μ才對，這種二維的狀況可以寫進矩陣，這對於同樣可以寫成矩陣的向量來說是件好事。
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實際考慮一個旋轉九十度的變化T，我們得知她可以寫成矩陣後，來猜猜看他的長相如何：
給定一個向量v，來看看實際運作：
嗯嗯，旋轉九十度了，不錯不錯。這就是變換（Map），不過這似乎沒有特徵值呢......很難看出來。諸看倌在猜想這種旋轉有沒有特徵值時，我在此斷言他有。
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要找特徵值，首先我們要先知道單位矩陣I。所謂單位矩陣 （Identity Matrix），就是n*n的方陣，裡面只有左上—右下這條對角線上有1這個數字。
而對於一個m*n的矩陣A而言，有A=AIn=ImA。不難理解，在AIn的乘法中，I的第一行會將A的第一列中第一個元素保存下來，放入新矩陣中第一行第一列的位置。回過頭來考慮本文一開始的那條式子，我們發現即使兩邊都有x向量還是無法運算（A為矩陣，λ為純量），何不乘個I看看呢？
這裡為了讓Ix有意義，I的大小必定和A一樣。若且唯若x非零，則矩陣A-λI映射到純量之數值為零。而將方塊矩陣映射成純量的函數，就是行列式（Determinant）（有關行列式證明或高階行列式運算，可參考這篇）。也就是說：
不要忘了我們要求的特徵值λ就在裡面。現在讓我們設定矩陣A的內容：
然後做一點運算：
並得到一條一元二次方程式：
這一條方程式我們稱之為特徵多項式（Characteristic Polynomial）。並得特徵值λ=1,6。對於一個矩陣同時擁有兩個特徵值不必感到驚訝。我們把這條多項式冠上特徵之名並不是出於隨意，而是這條方程式包含了方陣的行列式、特徵值和跡（Trace）。所謂跡，指的就是左上—右下對角線（主對角線）上所有元素的和。我們的矩陣A，其跡便是7，也出現在特徵方程式裡。
要注意這是二階的狀況。
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除了特徵值外，對於方陣每個可能的特徵值都有一個特徵向量（Eigenvector）。讓我們繼續考慮上一段的矩陣A和向量x，我們知道兩種情況：
這兩種情況，作用在x上的變換A有如純量一樣，而這種向量是需要精挑細選並非誰來都可以的。我們可以把向量x寫作矩陣，藉此得到好幾組方程式。
經過一番計算後，我們得到了特徵向量：
其中c是任意實數，任何符合上述形式的向量都是矩陣A的特徵向量。比如說考慮幾個向量：
真神奇啊，傑克！矩陣作用居然和純數積一樣！
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每個方陣都有特徵值，無論是只有一個相異值或有虛數單位。所以不會有「大眾方陣」出現。
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