今天拉格朗日：拉格朗日力學 Lagrangian Mechanics

天天都是開心的拉格朗日！

我要先聲明，「拉格朗日」不是什麼神奇的日子或太陽，也絕對不是什麼出現在標題一直輪迴的那一位。

相信很多人對於「力學」很不陌生，對於冠上「牛頓」兩字的「牛頓力學」也不感到稀奇。但是如果今天冠上的是「拉格朗日」或「哈密頓」呢？

1788年由拉格朗日（Joseph Lagrange，1736-1813）一手創造的拉格朗日力學（Lagrangian Mechanics）高中是絕對不會教的（看微積分慢慢「淡出」高中就知道了），取而代之的是牛頓力學（Newtonian Mechanics），更別提哈密頓力學（Hamiltonian Mechanics）了。原因就是——出題者會想辦法簡化系統。意即，我們碰到的所有題目都是很簡單的一個或兩個物體在自由運動、旋轉或碰撞。對於單擺或其他機械，我們除了探討他的周期外，很少去觀察他的「運動狀態」。光是要設質點的座標就已經夠難的了——就笛卡爾座標而言。

首先就上圖的系統假設數量：球的座標為r(x,y)、繩長L、重力加速度g、球質量m。而對於座標而言，有一個約束（Constraint）可以幫我們限制座標，不要讓他亂跑：

接著再讓他對於時間微分。要記住，這裡的座標都是時間的函數（球的位置隨時間而變），因而我們可以得到：

這是速度的約束。這裡x^2因為鏈鎖律的關係所以對時間微分後仍會殘留x，看起來很礙眼。這裡因為變數普遍都是時間，因此我們就不使用萊布尼茲的記法，而是採用牛頓在函數上點一個點點的記法，表示對時間的微分。

而虛功（Virtual Work）則會這樣表述：

其中力F為重力：

何謂虛功？虛功建立在虛位移（Virtual Displacement）和力的內積上，運算上和「實」功沒什麼兩樣。而這個「虛」位移則是同一時間，不違反約束的位移。例如在數線上依軌跡x移動的質點（其約束為一維運動、起訖點為x0及x1）：

存在虛軌跡x'，由每一時刻的虛位移δx組成，而起訖點為x0和x1。當然，這裡不只有一個x'虛軌跡，要多少有多少！只要不違反約束。在單擺的場合下，某一時間點的球的虛位移則會在單擺軌跡上。有關更多虛位移的介紹在這裡。

可是這樣子沒有意義啊，況且我們才引進了虛位移和虛功這兩種「子虛烏有突破天際」的東西，用xy來表示球的運動也麻煩的要命，這兩者還相干呢。

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因此，我們看他在圓周上擺動，給予他一個角θ去代替xy，而我們定義θ為L和y間的夾角。故球的座標可以寫作(Lsinθ,-Lcosθ)，此時，嘿，那個座標的約束消失了！！

減少代表約束的變數，是廣義座標的目標。透過把xy代換成θ，我們可以減去單擺軌跡造成的約束，而且描述整個系統運動狀態的座標數也從兩個減為一個。我們只需用角度θ和時間t兩個變數，就可以描述系統運動狀態。

那約束減少到什麼程度，所採用的座標才能稱得上是廣義的？那要看座標數有沒有達到自由度。所謂自由度（S，Degree of Freedom，DoF），就是描述一個物體的獨立座標數量。對一個二維平面上的一個質點而言，要描述他的位置需要xy兩個座標，因此自由度是2。若是三度空間的一個質點，則自由度增至3。

若此物體非質點而含有體積，則自由度需考量旋轉。系統中若有約束，自由度也要減去約束數量。因此這裡的二維單擺，自由度為1，我們只需要一個座標就可以描述物體位置，用上xy兩個就太多了，因此角度θ是此系統的廣義座標。注意時間t並不在座標範疇內。自由度和廣義座標，是拉格朗日力學的思想核心。

所以讓我們來看看小球的位置用廣義座標表述：

以及速度（廣義）：

還有虛功：

如果速度用廣義座標表述可以稱作廣義速度的話，那麼力用廣義座標表述也可以稱作廣義力。也因此這裡的-mgLsinθ就成了廣義力。，這裡δθ是虛位移，我們把剩下的部分稱作廣義力，記作：

和探討單擺中常提及的、對小球速度有貢獻的力類似，是吧？有趣的可不只這些，接下來我們將進到一個全新的世界。

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我們有了廣義座標、廣義速度、廣義力，接著是時候來探討運動方程了。拉格朗日力學最主要就是探討牛頓力學探討困難的運動。哈密頓力學也是類似概念出發，這兩種力學都具有高度數學表述，用上比牛頓力學還要更多的數學工具去解決更複雜的問題。而拉格朗日創造了一條公式，讓我們可以輕鬆得知牛頓解不出來的運動方程，後人稱之「拉格朗日方程式」（Lagrange's Equation）：

記得要去裱框，因為這條方程式在拉格朗日力學中的重要度等同於牛頓第二運動定律在牛頓力學中的地位。這裡的L是拉格朗日量（Lagrangian），q則是廣義座標，S為自由度。不難看出廣義座標數量為自由度，而相對的拉格朗日方程也該有這麼多條。拉格朗日量是這樣子定義的：

其中T是動能，V是廣義位能。接著我們來看看單擺系統中的拉格朗日量：

把先前的速度帶進去，再加以計算：

拉格朗日量就是長這麼醜（笑。那麼，把他帶進去拉格朗日方程式，由於我們的廣義座標只有角度一個，因此帶一個方程式即可。

質量和繩子長度絕對不會是零，因此可以消去，剩下的就是零了。得到：

也就是說，我們得到了角加速度。這麼來看，單擺的角加速度和擺長成反比、和角度有正相關，並且在θ=90°時其量值確實為g除以L。

以上就是拉格朗日力學對於單擺的分析，諸看倌原本受盡牛頓力學的折磨，今天甫遇到拉格朗日，腦袋就要爆炸了嗎？在拉格朗日後面，可是還有大魔王哈密頓啊！

那傢伙竟然離開古典力學，跑去和量子力學那群人聯手！

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有關公式的LaTeX語法：

\frac{\textup{d}}{\textup{d}t}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\textbf{q}}_i}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{q}_i}=0,i=1,2,3,\cdots ,S