李娘二姊不辣：矩陣乘法 Matrix multiplication

矩陣說到底其實也就是一塊棋盤上擺數字罷了，卻被那些數學家搞得七葷八素。

但是後來這全都要用來解釋狄拉克的左矢右矢。

有一個諸看倌大概不知道的冷知識：英國數學家西爾維斯特（James Joseph Sylvester，1814－1897）當初在1848年引進矩陣概念時，他採用了「子宮」，拉丁語做matrix（當然子宮在拉丁語裡還有其他如uterus的名稱存在），來命名矩陣。

也就是說，對古羅馬人講「矩陣」，他們腦子裡立刻想到的是「子宮」。

哈哈哈，不管，首先來考慮兩個矩陣AB，為了乘法方便，我們將A的行數和B的列數給統一（矩陣為先列再行，一個4*3的矩陣有四列三行，不要受行列式搞混了）：

我替諸看倌準備了4*3的矩陣A和3*5的矩陣B。在我們來乘起來前，先看看矩陣乘法是如何定義的。今有m*n的矩陣A和n*p的矩陣B，其乘積AB的元素可表示為：

為了讓A中某一列的元素都能分配到B中某一行的元素，A的行數和B的列數必須相同，其乘積才有意義可言。且矩陣乘法交換律不一定成立，即AB和BA不一定相等（甚至其中一者可能無意義）。

而同時矩陣乘法也可以用另一個比較直觀的方法來解釋：

我花了六個小時做的。這樣也比較能解釋A的行數和B的列數必須相同的原因。

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還記得我寫給諸看倌的兩個矩陣A和B嗎？如果你納悶為何還有第二種寫法，那麼我來告訴你，那是列向量和行向量。若是向量可以寫作1*n或n*1的矩陣，那麼矩陣也可以寫成向量，哪種向量都可以。

這樣我們就可以定義內積了，同時兩個向量也可以相乘：

原本沒有意義的BA此時也有意義了，但是AB則變成了1*1的矩陣，就和內積一樣。這裡事實上不管A是列向量還是行向量，只要B和A不是同一種向量，相乘在一起（列向量在前，行向量在後）就會返回純量。但元素個數仍要相同。

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純量積？喔，那很簡單。給定一個純量λ和一個矩陣A，其純量積可分為兩種：左乘積（Left Scalar Multiplication）和右乘積（Right Scalar Multiplication）。當然在很多情況下LSC和RSC是相通的，但是在某些沒有交換律的狀況下LSC和RSC得要分清楚（當然不是矩陣相乘啦）。比如說：

其中ij是四元數，遵守ij=k、jk=i、ki=j以及平方=-1等規則。現在來看看和i的左乘積和右乘積：

上方為i的左乘積，下方為i的右乘積，不難看出兩者在(2,2)的位置差了一個負號。

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矩陣的乘法沒什麼啦，說真的。

但是他會應用在狄拉克標記上。真的。